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[수학] 비유클리드 기하학의 역사

비유클리드 기하학의 역사

기원전 300년경 유클리드는 그 당시까지 그리스에 알려져 있던 수학의 모든 내용을 담아 ”원론”이라는 책을 펴냈다. 그중 기하학에 관한 수많은 정리는 다음 다섯 개의 공리로부터 얻어낸 것이다. 공리란 워낙 자명한 것이어서 증명 할 필요 없이 받아들여야 하는 것이다. 첫째, 평면 위에서 두 점은 한 선분을 결정한다.

둘째, 선분은 무한히 확장될 수 있다.

셋째, 한 점을 중심으로 하고 다른 한점을 지나는 원은 존재한다.

넷째, 모든 직각은 같다.

다섯째, 두 직선을 한 직선이 만날 때 만나는 각(같은 쪽) 의 합이 180도 보다 작으면 두 직선은 180도보다 작은 쪽에서 서로 만난다.

이 다섯째 공리는 앞의 네 공리보다 매우 복잡하다. 유클리드는 원론에서 우선 앞의 네 공리만 사용하여 28개의 정리를 얻었는데 현재 이 정리들이 성립하는 기하학을 절대기하학이라고 부른다.

1800년대까지 사람들은 이 절대기하학이 유클리드 기하학이라 믿고 다섯 째 공리를 절대기하학의 한 정리가 될 것이라고 추측하였다. 즉 다섯째 공리를 다른 네 공리로부터 얻어내려고 2000여 년간 노력해온 것이다. 많은 사람들은 실제로 그렇게 얻어냈다고 주장하였으나 그들은 사실 다섯째 공리를 그와 동치 인 다른 가정(즉, 두 평행한 직선은 같은 거리를 유지한다, 또는, 한 직선 위에 있지 않는 세 개의 점은 한 원 위에 있다, 등등)으로 대체했던 것에 지나지 않았다.

다섯째 공리를 달리 표현한다면 직선 l 바깥의 점을 지나며 l에 평행한 직선은하나 존재하되 꼭 하나만 있다는 것(평행선 공리)이다. 18세기에 사케리라는 논리학자는 평행선 공리를 부정함으로써 기하학의 모순을 얻어내려는 보다 진보된 논리를 펴 보았다.



비유클리드기하학 history




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